Margaret24.ru

Деньги в период кризиса
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Практический гармонический анализ

Практический гармонический анализ.

Применение рядов Фурье

Вычисление сумм числовых рядов.

В предыдущих параграфах было показано, как с помощью тригонометрических рядов можно вычислить суммы некоторых числовых рядов. Например,

. (8°)

. (9°)

Практический гармонический анализ.

На практике функция часто задаётся или в виде таблицы (когда функциональная зависимость получается в результате эксперимента), или в виде кривой, которая вычерчивается каким-либо прибором, например, осциллографом. В этих случаях можно получить аналитическое представление этой функции в виде тригонометрического ряда или в виде частичной суммы (отрезка) такого ряда. Коэффициенты Фурье вычисляются при помощи приближённых методов интегрирования, например, формулы прямоугольников.

Пусть значения функции, которая может быть периодической (с периодом 2l), получены в виде графика (рис.3.10.1).

Рассмотрим на оси абсцисс промежуток длиной 2p. Ясно, что любой промежуток можно свести к такому с помощью сдвига начала координат и последующего «сжатия» промежутка с помощью замены . Тогда получим 2p-периодичную функцию , как в п.3.7 (рис.3.10.2).

Разделим промежуток на п равных частей точками (рис.3.10.3). Шаг деления будет равен . Рассмотрим один период некоторой 2p-периодичной функции , изображённой на рис.3.10.4. Каждый промежуток будет служить основанием одного из прямоугольников с высотами , равными значениям функции в точках деления , т.е. в правых концах частичных отрезков. Значения этих высот определим по таблице или графику данной функции. Затем воспользуемся формулой прямоугольников. Эта формула заменяет площадь подграфика, равную определённому интегралу, ступенчатой фигурой, складывающейся из площадей прямоугольников: (i=1, 2, …, п) (рис.3.10.4):

(при площадь ступенчатой фигуры стремится к значению определённого интеграла). Тогда коэффициенты Фурье можно приближённо определить следующим образом:

;

;

.

.

Значения соответствующих синусов и косинусов определяются по таблицам или с помощью вычислительной техники. Разработаны схемы, упрощающие вычисление коэффициентов Фурье (см., например, Смирнов В.И., «Курс высшей математики», т.2; Лопшиц А.М., «Шаблоны для гармонического анализа»). Существуют даже приборы, так называемые гармонические анализаторы, которые по графику функции позволяют вычислить приближенное значение коэффициентов Фурье.

По вычисленным коэффициентам Фурье составляется функция:

и берётся столько членов ряда, сколько требуется в данной задаче. Таким образом, функция, заданная таблично или графически, становится заданной аналитически, и её можно дифференцировать, интегрировать, подставлять в дифференциальное уравнение, и т.д.

Гармонический анализ (2 курс, весна 2019) Лектор Лукашов А.Л.

ПО ГАРМОНИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ:

Гармонический анализ 1. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье

Содержание лекции: 1:30 — Глава 12. Ряды Фурье. §1. Коэффициенты. 19:40 — Примеры ортогональных систем, многочлены Лежандра 33:10 — Стандартная тригонометрическая система 40:00 — Коэффициенты Фурье, ряд Фурье по системе 57:00 — Лемма 1 (о плотности множества непрерывных финитных функций)

Гармонический анализ 2. Теорема Римана об осцилляции. Сходимость тригонометрических рядов Фурье

Содержание лекции: 00:18 — Лемма 2 (о непрерывности в среднем суммируемых функций относительно сдвига) 15:33 — Теорема 1 (Римана об осцилляции) 36:58 — Ортогональные системы, связанные с классическими ортогональными многочленами 51:03 — Ряд Фурье в комплексной форме 1:01:49 — §2. Сходимость тригонометрических рядов Фурье 1:08:17 — Лемма 1 (о частичных суммах ряда Фурье)

Гармонический анализ 3. Сходимость тригонометрических рядов Фурье

Содержание лекции: 00:19 — Лемма 2 23:08 — Теорема 1 (Принцип локализации Римана) 38:50 — Теорема 2 (признак Дини) 54:47 — Условие Гёльдера 1:00:52 — Теорема 3 (признак Липшица) 1:09:36 — Теорема 4 (о почленном дифференцировании)

Гармонический анализ 4. Приближение функций полиномами

Содержание лекции: 00:47 — Теорема 5 (о равномерной сходимости рядов Фурье) 27:22 — Теорема 6 (об интегрировании рядов Фурье) 36:53 — §3. Приближение функций полиномами 41:35 — Теорема 1 (Коровкина, для непрерывных на отрезке функций) 54:55 — Теорема 2 (Вейерштрасса о приближении алгебраическими многочленами) 1:06:26 — Теорема 1′ (Коровкина, для непрерывных 2π-периодичных функций)

Читать еще:  Анализ деятельности организации

Гармонический анализ 5. Пространства Lp. Неравенства Гёльдера и Минковского

Содержание лекции: 00:28 — Теорема 2 (Фейера) 22:31 — Суммы Валле-Пуссена 26:05 — §4. Пространства Lp 34:20 — Теорема 1 (неравенство Гёльдера) 39:49 — Теорема 2 (неравенство Минковского) 48:26 — Связь с линейными нормированными пространствами 53:07 — Теорема 3 (о банаховости пространства Lp([a,b]))

Гармонический анализ 6. Пространства Lp. Ряды Фурье в евклидовых пространствах

Содержание лекции: 00:29 — Утверждение о вложенности пространств Lp_i[a,b] 13:38 — Теорема 4 (о плотности множества непрерывных финитных функций в Lp(R)) 28:41 — Определение полной системы элементов в л.н.п. 32:44 — §5. Ряды Фурье в евклидовых пространствах 34:31 — Свойства коэффициентов фурье 45:31 — Теорема 1 (минимальность частичных сумм Фурье) 53:50 — Следствие (неравенство Бесселя) 57:46 — Теорема 2, равенство Парсеваля 1:06:24 — Следствие для полной системы 1:08:16 — Замечание для унитарных пространств 1:15:25 — Формулировка теормы 3 (Рисса-Фишера)

Гармонический анализ 7. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах. Интегралы, зависящие от параметра

Содержание лекции: 00:15 — Доказательство теоремы 3 (Рисса-Фишера) 05:20 — Следствие из теоремы Рисса-Фишера 11:02 — Определение замкнутой системы 12:38 — Теорема 4 (об эквивалентности полноты и замкнутости системы в гильбертовом пространстве) 19:25 — Гильбертовость пространства L2[-π, π] 24:49 — Равенство Парсеваля для тригонометрических рядов Фурье 28:11 — Теорема Рисса-Фишера для тригонометрической системы 31:55 — Теорема (Хаусдорфа-Юнга, б/д) Глава 13. Интегралы, зависящие от параметра 35:09 — §1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 35:49 — Теорема 1 41:10 — Следствие из теоремы 1 43:40 — Теорема 2 53:08 — Следствие из теоремы 2 (правило Лейбница 56:23 — Следствие из следствия 1:03:40 — §2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Мотивировка

Гармонический анализ 8. Несобственные интегралы Римана, зависящие от параметра

Содержание лекции: 03:01 — Определение равномерной сходимости несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра 05:19 — Теорема 1 (Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра) 11:01 — Теорема 2 (Признак сравнения для сходимости интеграла Римана, зависящего от параметра) 14:26 — Следствие (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла Римана, зависящего от параметра) 20:38 — Теорема 3 (Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра) 29:52 — Теорема 4 (Признак Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра) 36:09 — Теорема 5 (Предельный переход в несобственном интеграле Римана, зависящего от параметра) 50:31 — Следствие (Непрерывность несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра) 54:08 — Теорема 6 (Признак Дини равномерной сходимости несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра) 1:06:16 — Теорема 7 (Собственное интегрирование несобственного интеграла Римана, зависящего от параметра)

Гармонический анализ 9. Примеры интегралов. Эйлеровы интегралы, Β- и Γ-функции

Содержание лекции: 00:28 — Теорема 8 (Несобственное интегрирование несобственных интегралов Римана, зависящих от параметра) 15:58 — Теорема 9 (Дифференцирование несобственных интегралов Римана, зависящих от параметра) 29:10 — Пример 1. Интеграл Пуассона 34:58 — Пример 2. Интеграл Дирихле 53:29 — §3. Эйлеровы интегралы 53:55 — Определение гамма-функции 57:38 — Теорема 1 (Основные свойства гамма-функции) 1:07:51 — Определение бета-функции 1:10:55 — Теорема 2 (Связь бета- и гамма-функций)

Гармонический анализ 10. Формула Эйлера-Пуассона. Интеграл Фурье

Содержание лекции: 00:17 — Теорема 3 (Формула Эйлера-Пуассона) 13:02 — Теорема 4 (Формула дополнения) 20:21 — Пример (Объем n-мерного шара в евклидовом пространстве) 30:34 — Следствие из формулы дополнения 35:08 — Характеризация Г-функции 37:53 — §4. Интеграл Фурье 47:46 — Определение интеграла Фурье 52:55 — Частные случаи (четные и нечетные функции) 56:45 — Теорема 1 (Признак Дини сходимости интеграла Фурье) 1:13:43 — Следствие (Признак Липшица сходимости интеграла Фурье)

Читать еще:  Направления анализа трудовых показателей

Гармонический анализ 11. Преобразование Фурье

Содержание лекции: 00:07 — Пример вычисления интеграла Фурье 08:56 — Глава 14. Интегральные преобразования и обобщенные функцции. §1. Преобразование Фурье. 20:41 — Определение преобразования Фурье 21:45 — Определение обратного преобразования Фурье 30:15 — Теорема 1 (Основные свойства преобразования Фурье) 39:22 — Косинус- и синус-перобразования Фурье 42:44 — Теорема 2 (Преобразование Фурье производной) 52:10 — Следствие 54:16 — Теорема 3 (Производная преобразования Фурье) 58:57 — Определение свертки 1:01:34 — Коммутативность свертки 1:04:50 — Теорема 4 (Преобразование Фурье свертки) 1:11:44 — Преобразование Фурье в R^n

Гармонический анализ 12. Применение преобразования Фурье. Пространства Шварца S

Содержание лекции: 00:29 — Пример нахождения преобразования Фурье 13:17 — Замечание 1 (Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности) 23:52 — Замечние 2 (Теорема Котельникова (Найквиста-Шеннона, теорема отсчетов)) 38:06 — Отступление про конечность спектра 39:53 — Продолжение вычисления интеграла 41:32 — §2. Пространства Шварца S 42:03 — Определение пространства S 44:27 — Теорема 1 (О связи преобразования Фурье и пространства S) 52:43 — Теорема 2 (О равенстве Парсеваля для преобразования Фурье) 1:03:15 — Задание топологии 1:07:35 — Планы на будущее 1:10:43 — Обобщенные фунекции, δ-функция Дирака

Гармонический анализ 13. Обобщённые функции

Содержание лекции: 00:07 — §3. Обобщенные функции 01:09 — Определение носителя функции 05:48 — Определение полунормы в линейном пространстве 08:00 — Задание топологии 16:08 — Определение предела в топологии 20:07 — Определение функционала, линейного функционала, непрерывного функционала 23:47 — Определение обобщенной функции 25:39 — Пример 1 (Пример основной (пробной) функции) 29:17 — Пример 2 (Вложимость множества суммируемых на отрезках функций в множество обобщенных), определение регулярных и сингулярных функций 35:30 — Определение сингулярной обобщённой функции 36:15 — Пример 3 (δ-функция Дирака, ее сингулярность) 44:56 — Определение предела в пространстве обобщенных функций 46:35 — Пример 4 54:57 — Действия с обобщенными функциями 58:31 — Определение производной обобщенной функции 59:47 — Теорема 1 (Свойства дифференциирования обобщенных функций) 1:09:10 — Пример 5 (Функция Хевисайда) 1:11:46 — Пример 6 (Отсутствие ассоциативной коммутативной операции умножения обобщенных функций)

Гармонический анализ. Консультация перед экзаменом

Содержание лекции: Консультация перед экзаменом

Для чего нужен гармонический анализ? Основные расчетные формулы. Интерпретация полученных результатов. Как при помощи гармонического анализа можно выполнить фильтрацию временного ряда

Многие природные процессы являются периодическими, т.е. воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени Т (смена времен года, смена дня и ночи, продолжительность светового дня и т.д.). С точки зрения математики, различные величины, связанные с рассматриваемыми периодическими процессами, по истечение периода Т возвращаются к своим прежним значениям и являются периодическими функциями от времени t:

Гармонический анализ – это процесс разложения периодической функции в ряд Фурье (на гармоники). Гармоника (гармонические составляющие функции f(t)) – отдельные синусоидальные величины, входящие в состав тригонометрического ряда. Ибо периодическая функция f(t) периода Т (при этом составляющие синусоидальные величины разных частот) может быть представлена в виде суммы конечного или бесконечного множества синусоид. Интерпретация полученных результатов: с помощью гармонического анализа можно выделить низко-, средне- и высокочастотные колебания, а также оценить вклад отдельных гармоник в исследуемый процесс.

Задача гармонического анализа заключается в построении практически удобных методов для приближенного определения коэффициентов ряда Фурье или для непосредственного вычерчивания гармоник различных порядков для функции, заданной таблично. По этим коэффициентам можно судить о вкладе отдельных гармоник: если k≈0, то вклад гармоник минимальный, а если k≈1, то это основные гармоники. По ним можно составлять гипотезы и процессооформирующих явлениях.

Читать еще:  Классификация видов экономического анализа

Пусть ф-ия f(x) – периодическая с периодом 2π: f(x+2π)=f(x). Основная задача гармонического анализа – представить ф-цию f(x) в виде ряда: , где коэф. ряда определяется по формулам Эйлера-Фурье: ; ;

Полагая что , , ряд можно представить в виде: , где — амплитуда гармоники, — фаза

Ряд Фурье и гармонический анализ позволяют выполнить фильтрацию временного ряда. Напр.:

*Если обнулить n-компонент (с низкими частотами), то это высокочастотная фильтрация;

*Если удалить все компоненты с какой-то высокой частотой, то это будет низкочастотная фильтрация;

*Обнулив компонент со значениями частот «от и до» — полосовая фильтрация.

Иногда фильтрация с пропусканием высоких частот производится путем вычитания сглаженных величин из данного ряда, в рез-те в ряду остаются только высокие частоты.

1)Фильтрация низких и высоких частот, в рез-те чего в ряду остаются средние частоты. Иногда эти частоты получаются путем дополнительного сглаживания ряда данных, полученных путем вычитания первоначального сглаживания величин из экспериментального ряда.

2)Существуют фильтры позволяющие усилить высокие частоты. Этим достигается ликвидация эффекта предыдущего сглаживания (процесс «обратного сглаживания»).

Простейшими фильтрами являются скользящая средняя и взвешенная скользящая средняя.

Для чего необходимо осреднение? Основные расчетные формулы метода скользящего среднего и экспоненциального сглаживания. Интерпретация полученных результатов. Достоинства и недостатки данных двух методов

Осреднение необходимо для исключения влияния на анализ флуктуаций – короткопериодические колебания, медленные постепенные изменения случайной переменной в течение всего анализируемого периода и колебания, хар-ся промежуточным временным масштабом.

Метод скользящей средней заключается в том, что для каждого аргумента берется средняя арифметическая на несколько соседних значениях функции.

, т.е. ;

Пропадут первые v-точки и последние v-точки: 2v-точки.

Применяют для длинных рядов, где пропажа двух крайних 2v-точек ничего не решает. Характерно для физ.-географов и не характерно для эконом.географов, которые работают с небольшими рядами. Многоцелевой, легко программируемый метод, однако велика вероятность неточности.

Метод взвешенной скользящей средней является более точным, т.к. не связан с потерей крайних значений. Для этих целей добавляют с обеих концов ряда по два члена, расчет производится по формуле:

Метод экспоненциального сглаживания. Пусть есть некоторый ряд , где i=1,2. n. Тогда расчетные формулы имеют вид:

; α и β > 0 α+β=1 α

0,1-0,3 (т.е. берут значение в этом пределе) Чем меньше α, тем больше степень осреднения

Его преимущества заключаются в простоте вычислений, гибкости описаний динамик процессов. Метод экспоненциального сглаживания дает возможность получить оценку параметров тренда, хар-щих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Наибольшее применение метод нашел для коротких рядов в геоэкологии и эконом.географии. Для метода экспоненциального сглаживания основным и наиболее трудным моментом является выбор параметра сглаживания α и начальных условий.

Интерпретация полученных результатов: воспользовавшись рассмотренными методами, мы сократили, сжали набор полученных результатов и осреднили их, что избавило нас от ряда процессов обработки не столь важных результатов. (например, для оценки численности населения не так важно знать его каждодневное количество)

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector