Margaret24.ru

Деньги в период кризиса
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Портфель тобина минимального риска

Оптимизация портфеля ценных бумаг средствами Python

Введение

На финансовом рынке обращается, как правило, несколько типов ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.п.

Если у участника рынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные бумаги и получать дополнительный доход. Но в какой банк отнести? Какие ценные бумаги купить?

Ценные бумаги с низкими рисками, как правило, малодоходны, а высокодоходные, как правило, более рискованны. Экономическая наука может дать некоторые рекомендации для решения этого вопроса, но для этого необходимо иметь соответствующие программные средства, желательно с простым интерфейсом и бесплатные.

Программные средства для анализа портфелей ценных бумах должны работать с матрицами доходности и решать задачи нелинейного программирования с ограничениями в виде строгих и нестрогих неравенств. Символьное решение на Python некоторых типов задач нелинейного программирования мною уже рассматривалось в публикации [1]. Однако, применить предложенные в указанной публикации методы для анализа портфеля ценных бумаг нельзя из-за ограничений в виде строгих неравенств.

Целью настоящей публикации является разработка методов оптимизации портфелей ценных бумаг с использованием библиотеки scipy.optimize. Пришлось исследовать и применить при программировании такие мало известные возможности указанной библиотеки, как введение дополнительных ограничений в функцию цели [2].

Постановка задачи об оптимальном портфеле Марковица

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на приобретение ценных бумаг. Цель инвестора – вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить его.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р’, то (Р’- Р)/Р естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. Доходность портфеля – это доходность на единицу его стоимости.

Пусть xi – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида. Весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть di – доходность в процентах годовых бумаг i-го вида в расчете на одну денежную единицу.

Доходность колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть mi, ri – средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение, называемое риском. Через CVij обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг i – го и j – го видов.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность больше, а риск меньше. Однако, поскольку “нельзя поймать двух зайцев сразу”, необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском.

Модель оптимального портфеля Марковица, которая обеспечивает минимальный риск и заданную доходность

Такая модель в виде системы из уравнений и неравенств имеет вид [3]:

Необходимо определить: x1,x2…xn.

Исходными данными для расчета является матрица доходности ценных бумаг следующей формы (заполненный пример матрицы в листинге программы):

Для реализации модели минимального риска на Python нужно выполнить следующие этапы разработки:
1.Определение средней доходности акций 1-6:

Средняя доходность акций 1-6:

[[ 12.19916667]
[ 13.17116667]
[ 13.98283333]
[ 13.73466667]
[ 13.46983333]
[ 14.84666667]]

2. Построение ковариационной матрицы (m=n=6).

CV= np.zeros([m,n])
for i in np.arange(0,m):
for j in np.arange(0,n):
x=np.array(D[0:m,j]).T
y=np.array(D[0:m,i]).T
X = np.vstack((x,y))
CV[i,j]=round(np.cov(x,y,ddof=0)[1,0],3)
print(«Ковариационная матрица CV: n %s»%CV)

Ковариационная матрица CV:

[[ 2.117 1.773 2.256 2.347 2.077 1.975]
[ 1.773 1.903 1.941 2.049 1.888 1.601]
[ 2.256 1.941 2.901 2.787 2.701 2.761]
[ 2.347 2.049 2.787 3.935 2.464 2.315]
[ 2.077 1.888 2.701 2.464 2.723 2.364]
[ 1.975 1.601 2.761 2.315 2.364 3.067]]

3. Символьное определение функции для определения дисперсии доходности портфеля (функции риска).

Дисперсия доходности портфеля (функция риска):

2.117*x1**2 + 3.546*x1*x2 + 4.512*x1*x3 + 4.694*x1*x4 + 4.154*x1*x5 + 3.95*x1*x6 + 1.903*x2**2 + 3.882*x2*x3 + 4.098*x2*x4 + 3.776*x2*x5 + 3.202*x2*x6 + 2.901*x3**2 + 5.574*x3*x4 + 5.402*x3*x5 + 5.522*x3*x6 + 3.935*x4**2 + 4.928*x4*x5 + 4.63*x4*x6 + 2.723*x5**2 + 4.728*x5*x6 + 3.067*x6**2

4. Определение оптимального портфеля акций для минимального риска и доходности mp=13.25

Минимум функции риска -1.846
Акция 1 доля- 0.141, доходность- 1.721
Акция 2 доля- 0.73, доходность- 9.616
Акция 3 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 4 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 5 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 6 доля- 0.129, доходность- 1.914

Доходными являются 1,2,6 акции. Это и есть часть ответа на вопросы, поставленные в начале публикации.

Оптимальный портфель Марковица максимальной доходности и заданного, (приемлемого) риска

Система уравнений и неравенств имеет вид:

Часть приведенного листинга не требует пояснений, поскольку всё подробно изложено в предыдущем примере. Однако есть отличия. Столбец средней доходности d и функция условия def constraint2(x) взяты из предыдущего примера, причем в предыдущем примере это была функция минимального риска. Кроме того, для определения максимума перед выводом значения новой функции цели – def objective(x), поставлен знак минус.

Максимум функции доходности —14.1
Акция 1 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 2 доля- 0.72, доходность- 9.489
Акция 3 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 4 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 5 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 6 доля- 0.311, доходность- 4.611

Акции 2,6 доходны. Но это не единственный результат оптимизации средствами scipy optimize minimize. Я решил сравнить результаты с решением той же задачи средствами Mathcad и вот что получил:

Mathcad указывает на те же номера 2,6 доходных акций, но доли другие. В Python 0.720,0.311 в Mathcad 0.539, 0.461, при этом разные значения максимальной доходности соответственно 14.1 и 13.9. Для того чтобы окончательно убедиться какая программа вычисляет оптимум правильно, подставим полученные в Python значения долей в Mathcad, получим:

Вывод: на Python оптимум функции, а следовательно доли и доходность вычисляется более точно, чем при использовании Mathcad.

Формирование оптимального портфеля ценных бумаг по модели Тобина

Портфель Тобина минимального риска:

где d0 – эффективность без рисковых бумаг;
x0 – доля капитала вложенная в без рисковые бумаги;
xi,xj — доля капитала вложенная в ценные бумаги i-го и j–го видов;
di – математическое ожидание (среднее арифметическое) доходности i — й ценной бумаги;
vij – корреляционный момент между эффективностью бумаг i-го и j –го видов.

Читать еще:  Деловой риск это

Подбираем долю капитала заданной доходности, задаём общую доходность, приняв для примера следующие числовые значения x0=0.3, d0 =10, dp=12.7.

Минимум функции риска: 0.728
Акция 1 доля- -0.023, доходность: -0.286
Акция 2 доля- 0.666, доходность: 8.778
Акция 3 доля- -1.0, доходность: -13.983
Акция 4 доля- 0.079, доходность: 1.089
Акция 5 доля- 0.3, доходность: 4.048
Акция 6 доля- 0.677, доходность: 10.054

Доходными являются акции 2,4,5,6.

Портфель Тобина максимальной эффективности

где rp – риск портфеля.

Максимум функции доходности: -11.657
Акция 1 доля- 0.09, доходность: 1.096
Акция 2 доля- 0.196, доходность: 2.583
Акция 3 доля- -1.0, доходность: -13.983
Акция 4 доля- 0.113, доходность: 1.552
Акция 5 доля- 0.411, доходность: 5.538
Акция 6 доля- 0.463, доходность- 6.872

Доходными являются акции 1,2,4,5.

Выводы:

Впервые средствами Python решена задача оптимизации портфеля ценных бумаг по моделям Марковица и Тобина.
На сравнительном примере c математическим пакетом Mathcad показаны преимущества библиотеки scipy optimize minimize.

Портфель Тобина

Пусть х – безрисковая составляющая с эффективностью σ. Ожидаемое значение эффективности портфеля и ее среднеквадратическое отклонение равны:

где mr – эффективность рисковой составляющей портфеля.

Установлено, что x ≤ 1.

Исключая x из системы (6), получаем

Изобразим зависимость σp от mp:

Xr =0
Xr =1

1) при x = 1, весь портфель безрисковый (точка А)

2) при x = 0; весь портфель рисковый (точка B)

Связь между риском и ожидаемой эффективностью линейная.

С учетом безрисковой компоненты, показатели оптимального портфеля (Тобина) определяются из системы:

Vp = ∑∑xi∙xj∙Vij => min(8)

Построим кривую Марковица (эффективная граница) для рисковой составляющей:

Возьмем точку B, на траектории BCF

Пусть x1 Bxn B – пропорции эффективного портфеля B

Очевидно, что x + (1 — x) ∑xj B = 1

Например х=1/3 – доля безрисковой составляющей, а доли рисковых бумаг в рисковой части (точка B) будут x1=1/5 ; x2=4/5 (∑xi B =1)

Тогда абсолютные доли рисковых бумаг будут

Сумма всех абсолютных долей бумаг в портфеле равна 1, т.е

Отсюда следует, что портфель (x, (1 — x) ∙x1 ∙B , … , (1 — x) ∙xn B )является допустимым то есть траектория AF – одна из допустимых. Но в постановке (8-10) она не эффективна. Так как в диапазоне (mp B , mp F ) она имеет более высокий риск чем на кривой BCE.

Отсюда ясно, что эффективный портфель будет на прямой ACE, которая является касательной к кривой Марковица (эффективной границе), то есть любой заданной эффективности mp соответствует минимальное значение риска портфеля σp.

Пример: Найдем оптимальный портфель Тобина на траектории эффективных комбинаций из двух рисковых бумаг с характеристиками m1 = 2; σ1 = 1; m2=3; σ2 = 2; ρ1,2 = 0,5, если эффективность безрискового актива r = 1%.

Решение: Строим кривую Марковица (эффективную границу):

σp 2 = 1 2 ∙x1 2 + 4x2 2 + 2x1∙x2∙2∙1/2

mp = 2x1 + 3x2

Изобразим кривую на рисунке (для этого найдем контрольные точки):

Найдем σp minиз условия ∂σp /∂mp =(6mp-12)/ 2√ 3 mp 2 -12mp+13

Точка M

mp = 2

подставив в (8) найдем σpmin

σpmin = √34 – 122 + 13 = 1

Получили координаты точки М(mp M =2; σp M =1)

Найдем параметры портфеля в точке F:

σp = √39 – 123 + 13 = √27 + 13 – 36 = 2

Нанесем эти значения на график

Строим касательную ACE к кривой Марковица. Для этого надо найти координаты точки касания С к графику функции y=f(x). Уравнение касательной к функции y = f(x)имеет вид:

Здесь аналогом x является mc, аналогом f(x) является кривая (8)

σp(mc) = √3mc 2 – 12mc +13

σ’p(mc) = (6mc – 12) / (2√3mc 2 – 12mc + 13), откуда

σp = √3mc 2 – 12mc +13 + (3mc – 6) / √3mc 2 – 12mc +13 ∙ (mp – me)

Эта прямая проходит через A (1; 0), откуда получаем уравнение:

0 = √3mc 2 – 12mc + 13 + (3mc-6) / √3mc 2 – 12mc + 13 (1 – mc)

Решив это уравнение получаем mc = 7/3. Подставив mc = 7/3 в (8) получаем:

σс = √3(7/3) 2 – 12(7/3) + 13 = 2/√3, откуда

x1* = 3 – mc = 3 – 7/3 = 2/3

x2* = 1 – 2/3 = 1/3

Получаем оптимальную структуру рисковой части портфеля.

Как видим из решения, структура рисковой части оптимального портфеля не зависит от склонности инвестора к риску (от x).

Пусть доля безрисковых бумаг x = 1/3, тогда доли рисковых частей будут равны:

В результате эффективность портфеля, содержащего безрисковую компоненту:

mp = 1/3*1 + 4/9*2 + 2/9*3 = 1/3 + 8/9 + 6/9 = 17/9

В результате определили оптимальные доли портфеля Тобина, его эффективность и риск (точка C на рис 3).

В том случае, если портфель в рисковой части содержит более 2 ценных бумаг, то по заданным значениям эффективности портфеля mp определяем оптимальные доли xi*, I = 1,n, обеспечивающие минимальный риск. Для найденных долей xi * находим σp min. В результате каждому значению mp ставим в соответсвие σp min. По найденным долям xi* находим σp*min. В результате каждому значению mp ставим в соответствие σp min. По найденным значениям σr от mp строим кривую Марковица (эффективную границу). Затем для заданного значений r строим касательную к кривой Марковица. Определяем величины mp c и σp с в точке касания. Для полученного значения mc определяем оптимальные доли рисковой части портфеля x1*, … xn*. В итоге получаем оптимальные доли портфеля Тобина минимального риска:

Д.З.: Построить касательный портфель к эффективной границе (при r=1) .

1. Структура рисковой части портфеля не зависит от склонности инвестора к риску (склонность к риску определяется безрисковой долей x0, если x=0, то портфель абсолютно рисковый, если x=1, то портфель абсолютно безрисковый);

2. Если инвестор интересуется только ожидаемой доходностью и стандартным отклонением своего портфеля, то он будет комплектовать портфель только из «касательного» ( оптимального) портфеля С и безрискового актива.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 9296 — | 7866 — или читать все.

Читать еще:  В целях минимизации риска

Оптимизация портфеля ценных бумаг средствами Python

Введение

На финансовом рынке обращается, как правило, несколько типов ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.п.

Если у участника рынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные бумаги и получать дополнительный доход. Но в какой банк отнести? Какие ценные бумаги купить?

Ценные бумаги с низкими рисками, как правило, малодоходны, а высокодоходные, как правило, более рискованны. Экономическая наука может дать некоторые рекомендации для решения этого вопроса, но для этого необходимо иметь соответствующие программные средства, желательно с простым интерфейсом и бесплатные.

Программные средства для анализа портфелей ценных бумах должны работать с матрицами доходности и решать задачи нелинейного программирования с ограничениями в виде строгих и нестрогих неравенств. Символьное решение на Python некоторых типов задач нелинейного программирования мною уже рассматривалось в публикации [1]. Однако, применить предложенные в указанной публикации методы для анализа портфеля ценных бумаг нельзя из-за ограничений в виде строгих неравенств.

Целью настоящей публикации является разработка методов оптимизации портфелей ценных бумаг с использованием библиотеки scipy.optimize. Пришлось исследовать и применить при программировании такие мало известные возможности указанной библиотеки, как введение дополнительных ограничений в функцию цели [2].

Постановка задачи об оптимальном портфеле Марковица

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на приобретение ценных бумаг. Цель инвестора – вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возможности и нарастить его.

Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называется его портфелем. Стоимость портфеля – это суммарная стоимость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р’, то (Р’- Р)/Р естественно назвать доходностью портфеля в процентах годовых. Доходность портфеля – это доходность на единицу его стоимости.

Пусть xi – доля капитала, потраченная на покупку ценных бумаг i-го вида. Весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть di – доходность в процентах годовых бумаг i-го вида в расчете на одну денежную единицу.

Доходность колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть mi, ri – средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение, называемое риском. Через CVij обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг i – го и j – го видов.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность больше, а риск меньше. Однако, поскольку “нельзя поймать двух зайцев сразу”, необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском.

Модель оптимального портфеля Марковица, которая обеспечивает минимальный риск и заданную доходность

Такая модель в виде системы из уравнений и неравенств имеет вид [3]:

Необходимо определить: x1,x2…xn.

Исходными данными для расчета является матрица доходности ценных бумаг следующей формы (заполненный пример матрицы в листинге программы):

Для реализации модели минимального риска на Python нужно выполнить следующие этапы разработки:
1.Определение средней доходности акций 1-6:

Средняя доходность акций 1-6:

[[ 12.19916667]
[ 13.17116667]
[ 13.98283333]
[ 13.73466667]
[ 13.46983333]
[ 14.84666667]]

2. Построение ковариационной матрицы (m=n=6).

CV= np.zeros([m,n])
for i in np.arange(0,m):
for j in np.arange(0,n):
x=np.array(D[0:m,j]).T
y=np.array(D[0:m,i]).T
X = np.vstack((x,y))
CV[i,j]=round(np.cov(x,y,ddof=0)[1,0],3)
print(«Ковариационная матрица CV: n %s»%CV)

Ковариационная матрица CV:

[[ 2.117 1.773 2.256 2.347 2.077 1.975]
[ 1.773 1.903 1.941 2.049 1.888 1.601]
[ 2.256 1.941 2.901 2.787 2.701 2.761]
[ 2.347 2.049 2.787 3.935 2.464 2.315]
[ 2.077 1.888 2.701 2.464 2.723 2.364]
[ 1.975 1.601 2.761 2.315 2.364 3.067]]

3. Символьное определение функции для определения дисперсии доходности портфеля (функции риска).

Дисперсия доходности портфеля (функция риска):

2.117*x1**2 + 3.546*x1*x2 + 4.512*x1*x3 + 4.694*x1*x4 + 4.154*x1*x5 + 3.95*x1*x6 + 1.903*x2**2 + 3.882*x2*x3 + 4.098*x2*x4 + 3.776*x2*x5 + 3.202*x2*x6 + 2.901*x3**2 + 5.574*x3*x4 + 5.402*x3*x5 + 5.522*x3*x6 + 3.935*x4**2 + 4.928*x4*x5 + 4.63*x4*x6 + 2.723*x5**2 + 4.728*x5*x6 + 3.067*x6**2

4. Определение оптимального портфеля акций для минимального риска и доходности mp=13.25

Минимум функции риска -1.846
Акция 1 доля- 0.141, доходность- 1.721
Акция 2 доля- 0.73, доходность- 9.616
Акция 3 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 4 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 5 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 6 доля- 0.129, доходность- 1.914

Доходными являются 1,2,6 акции. Это и есть часть ответа на вопросы, поставленные в начале публикации.

Оптимальный портфель Марковица максимальной доходности и заданного, (приемлемого) риска

Система уравнений и неравенств имеет вид:

Часть приведенного листинга не требует пояснений, поскольку всё подробно изложено в предыдущем примере. Однако есть отличия. Столбец средней доходности d и функция условия def constraint2(x) взяты из предыдущего примера, причем в предыдущем примере это была функция минимального риска. Кроме того, для определения максимума перед выводом значения новой функции цели – def objective(x), поставлен знак минус.

Максимум функции доходности —14.1
Акция 1 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 2 доля- 0.72, доходность- 9.489
Акция 3 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 4 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 5 доля- 0.0, доходность- 0.0
Акция 6 доля- 0.311, доходность- 4.611

Акции 2,6 доходны. Но это не единственный результат оптимизации средствами scipy optimize minimize. Я решил сравнить результаты с решением той же задачи средствами Mathcad и вот что получил:

Mathcad указывает на те же номера 2,6 доходных акций, но доли другие. В Python 0.720,0.311 в Mathcad 0.539, 0.461, при этом разные значения максимальной доходности соответственно 14.1 и 13.9. Для того чтобы окончательно убедиться какая программа вычисляет оптимум правильно, подставим полученные в Python значения долей в Mathcad, получим:

Вывод: на Python оптимум функции, а следовательно доли и доходность вычисляется более точно, чем при использовании Mathcad.

Формирование оптимального портфеля ценных бумаг по модели Тобина

Портфель Тобина минимального риска:

где d0 – эффективность без рисковых бумаг;
x0 – доля капитала вложенная в без рисковые бумаги;
xi,xj — доля капитала вложенная в ценные бумаги i-го и j–го видов;
di – математическое ожидание (среднее арифметическое) доходности i — й ценной бумаги;
vij – корреляционный момент между эффективностью бумаг i-го и j –го видов.

Читать еще:  Риски стихийных бедствий

Подбираем долю капитала заданной доходности, задаём общую доходность, приняв для примера следующие числовые значения x0=0.3, d0 =10, dp=12.7.

Минимум функции риска: 0.728
Акция 1 доля- -0.023, доходность: -0.286
Акция 2 доля- 0.666, доходность: 8.778
Акция 3 доля- -1.0, доходность: -13.983
Акция 4 доля- 0.079, доходность: 1.089
Акция 5 доля- 0.3, доходность: 4.048
Акция 6 доля- 0.677, доходность: 10.054

Доходными являются акции 2,4,5,6.

Портфель Тобина максимальной эффективности

где rp – риск портфеля.

Максимум функции доходности: -11.657
Акция 1 доля- 0.09, доходность: 1.096
Акция 2 доля- 0.196, доходность: 2.583
Акция 3 доля- -1.0, доходность: -13.983
Акция 4 доля- 0.113, доходность: 1.552
Акция 5 доля- 0.411, доходность: 5.538
Акция 6 доля- 0.463, доходность- 6.872

Доходными являются акции 1,2,4,5.

Выводы:

Впервые средствами Python решена задача оптимизации портфеля ценных бумаг по моделям Марковица и Тобина.
На сравнительном примере c математическим пакетом Mathcad показаны преимущества библиотеки scipy optimize minimize.

Построение оптимального портфеля ценных бумаг при рискованных и безрисковых вложениях. Задача Д.Тобина (J.Tobin).

Постановка задачи.

Ценные бумаги, входящие в портфель инвестора, можно разделить условно на две группы. В первую группу войдут ценные бумаги, имеющие малый риск и умеренную доходность. Во вторую группу войдут ценные бумаги, имеющие большую доходность и соответственно больший риск. Бумаги, имеющие малую доходность и больший риск, очевидно, не следует включать в портфель.

К безрисковым ценным бумагам можно отнести государственные ценные бумаги. В частности, на рынке США это вексель казначейства (US Treasury Bill), расписки казначейства (US Treasury Notes), бона казначейства (US Treasury bonds).

Тобин Д. рассмотрел следующую предельную ситуацию, когда инвестор выделяет х денег на приобретение государственных ценных бумаг с ожидаемой доходностью г и нулевым риском. Остальные 1-х денег инвестор тратит на рискованные ценные бумаги, например акции, с ожидаемой доходностью mi большей, чем эффективность безрисковых бумаг г, т. е. mi>r (i=1,2. n).

Математическая постановка задачи следующая.

Требуется найти распределение средств инвестора х, x1, х2. хпмежду безрисковыми и рискованными бумагами 1, 2. птакое, что выполняются линейные ограничения:

(фиксация ожидаемой суммарной доходности портфеля акций на уровне тs)

и минимизируется риск, равный

где — риск i-ой ценной бумаги (дисперсия эффективности i-ой ценной бумаги) i=1,2,…n.,

— ковариация i-ой и j–ой ценной бумаги, определяющая связь между эффективностями i-ой и j–ой ценной бумагой i=1,2,…n, j =1,2,…n.


Аналитическое решение задачи построения оптимального портфеля (задача Д.Тобина).

Рассмотрим упрощенную постановку задачи Д.Тобина (J.Tobin). Инвестор формирует портфель из четырех ценных бумаг, одна из которых является государственной безрисковой ценной бумагой. Средняя доходность портфеля m выражается формулой:

где: х – доля государственных безрисковых ценных бумаг,

х1, х2, х3 – доля ценных бумаг 1, 2, 3 с ненулевым риском (например акций).

При этом выполняется уравнение баланса:

Риск портфеля зависит только от количества рискованных ценных бумаг (акций) и их рисков:

Задача Д.Тобина в этом случае имеет вид. Найти структуру x x1, x2, x3 портфеля ценных бумаг, обеспечивающую минимальный риск (3.6), при выполнении линейных ограничений: уравнения баланса (3.5) и фиксации доходности m = const (3.4). Определить риск оптимального портфеля инвестора.

Вычитая из уравнения доходности (3.4) уравнение баланса (3.5), получим уравнение не содержащее переменной х.

Таким образом, задача упрощается. Нужно найти минимум функции риска (3.6) при одном ограничении (3.7).

Воспользовавшись функцией Лагранжа, получим:

где λ – множитель Лагранжа.

Для достижения минимального значения вычислим и приравняем к нулю частные производные от функции Лагранжа:

и в результате для х имеем:

Для вычисления множителя Лагранжа λ, подставим значения (3.8) в ограничения (3.7) и вычисляем значение множителя Лагранжа λ:

Подставляя значение λ в (3.8), вычисляем относительное количество средств потраченных на рискованные и государственные безрисковые ценные бумаги (значения х123 ):

x1 = (m-1) = 0,02739(m-1)

x2 = (m-1) = 0,03424(m-1) (3.9)

x3 = (m-1) = 0,02739(m-1)

x =1 — (m-1) =1- 0,08902(m-1)

Для риска σ 2 из (3.6) и (3.9) получим:

σ 2 = х1 2 +2х2 2 +5х3 2 = (m-1) 2 ,

Следовательно, среднеквадратическое отклонение σ равно:

σ = = = 0,08276 (m-1)

В качестве численного примера рассмотрим случай, когда желаемая доходность портфеля равна m=1, 2, 3, 11

m12311
x10,027390,054780,2739
x20,034240,068480,3424
x30,027390,054780,2739
x10,910980,821960,1098
σ0,082760,165520,8276

Зависимость структуры портфеля и риска от доходности портфеля.

На рис.3.1. представлена зависимость структуры портфеля х, х1, х2, х3 от доходности портфеля m. Прямые для х1 и х3 совпадают.

На рис.3.2. представлена зависимость риска портфеля σ от доходности портфеля m.

При доходности портфеля m = 1, равной доходности государственной ценной бумаги, получается очевидный результат х=1, х1=0, х2=0, х3 =0,

т. е. все средства следует вложить в государственную ценную бумагу. При увеличении желаемой доходности портфеля средства начинают понемногу перетекать из государственной ценной бумаги в акции, причем пропорция между средствами на акции будет постоянной на первую и третью акцию одна и та же сумма на вторую акцию в 1,25 раз больше.

Таким образом, структура портфеля ценных бумаг не меняется в зависимости от желаемой доходности портфеля ценных бумаг. Пропорция: х123 не зависит от желаемой доходности портфеля ценных бумаг. Это свойство портфеля остается справедливым и в общем случае.

В общем случае задача оптимизации портфеля ценных бумаг решается численными методами, например, с помощью программы поиск решения из Excel. Для её подключения необходимо произвести следующие операции: войти в Excel, далее Сервис / Надстройки /Поиск решения.

Дата добавления: 2018-02-15 ; просмотров: 351 ;

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector
×
×