Margaret24.ru

Деньги в период кризиса
5 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Абсолютная мера риска

4.5.Мера неприятия риска

До настоящего момента мы делили людей в зависимости от их отношения к риску на три типа: рискофобы, рискофилы и нейтралы. Но на принятие решения влияет не только общая направленность, но и степень толерантности к риску. Действительно, два рискофоба в одинаковых ситуациях могут выбрать разные альтернативы, потому что их «сила отторжения» риска различна. Что же может служить мерой неприятия риска? По каким показателям можно судить, насколько человек толерантен к риску?

В предыдущем параграфе мы отметили готовность человека, не склонного к риску, платить за его отсутствие. Это дает возможность использовать количественные характеристики такой готовности в качестве меры неприятия риска.

Действительно, чем сильнее человек опасается риска, тем больше он согласен заплатить за его отсутствие. Эта готовность платить (willingness to pay) может быть количественно измерена, как минимум, двумя показателями:

  • величиной максимальной страховой премии, на которую согласен ЛПР;
  • величиной так называемой «премии за риск».

Премия за риск может быть представлена как в абсолютных, так и в относительных величинах (как доля от максимальной страховой премии).

Рассмотрим эти характеристики подробнее на примере гипотетической ситуации с человеком, не склонным к риску и обладающим начальным богатством х денежных единиц. Предположим, что с вероятностью р может произойти убыток в размере у денежных единиц.

Дискретная случайная величина Y , описывающая данный убыток, может быть записана как простейшая лотерея Y .

Начальное богатство детерминировано и равно х . Но поскольку убыток случаен, то конечное богатство также является случайной величиной Х :

Распределение этой СВ имеет следующий вид:

  • с вероятностью р конечное богатство равно ( х — у ), а
  • с вероятностью (1 — р) оно останется неизменным и равным х .

Данная схема описывает типичную ситуацию так называемого «чистого» риска, который несет в себе возможность только потерять и не предполагает возможность обогатиться. В лучшем случае все просто останется, как есть.

График полезности для рассматриваемой ситуации приведен на рис.4.5.

Рис.4.5. Полезность возможных исходов конечного богатства.

Ожидаемое конечное богатство МХ составляет:

MY — ожидаемый убыток, который может быть найден по общей формуле математического ожидания для дискретной СВ:

Так как x — детерминированная величина, то ее математическое ожидание равно самому значению:

Поскольку мы рассматриваем ситуацию с позиции ЛПР, не склонного к риску, то ожидаемая полезность конечного богатства MuX оказывается меньше полезности ожидаемого конечного богатства u(MX) (см.рис.4.6). Значит ЛПР хотел бы избавиться от риска, даже если за это он должен заплатить некоторую сумму.

Рис.4.6. Полезность ожидаемого конечного богатства u(MX) и ожидаемая полезность конечного богатства MuX .

Одним из самых распространенных способов передачи чистых рисков является страхование. За фиксированную плату, которая называется страховой премией, принимающая сторона (страховая компания или страховщик) обязуется возместить передающей стороне возможный убыток, если тот наступит.

Решение застраховаться на случай наступления убытка y будет означать следующее.

Во-первых, богатство уменьшится на величину уплаченной страховой премии Π и составит (x — Π) .

Во-вторых, даже если риск реализуется, и произойдет убыток, страховая компания его полностью возместит. То есть конечное богатство при наступлении убытка не изменится и составит по-прежнему (x — Π) . Таким образом, ситуация перестает быть рискованной.

Итак, у ЛПР есть две альтернативы:

Альтернатива А: с вероятностью р потерять часть богатства y или с вероятностью (1 — p) не потерять ничего (это первоначальная ситуация без страхования), и

Альтернатива В: гарантированно потерять часть богатства Π такую, что Π , но избавиться от случайности (это вариант со страхованием).

Для конкретного человека и заданной рисковой ситуации выбор наилучшей альтернативы зависит от величины страховой премии Π . Если страховая компания запросит слишком большую плату, то даже очень осторожный человек может предпочесть не страховаться. Однако, как правило, страховая премия Π настолько меньше возможного убытка y , что данная альтернатива выглядит предпочтительней.

Какую же сумму Π готов заплатить ЛПР, чтобы избавится от риска?

В рамках рассматриваемой теории страхование с премией Π будет выгодным, если ожидаемая полезность альтернативы B со страхованием будет выше ожидаемой полезности варианта А без страхования:

Граничным случаем, когда обе альтернативы эквивалентны, является равенство их ожидаемых полезностей:

Ожидаемая полезность альтернативы А (без страхования) составляет:

Ожидаемая полезность альтернативы В (со страхованием) равна полезности конечного богатства после уплаты страховой премии Π , поскольку эта величина является детерминированной и не изменится, даже если убыток реализуется:

Предельная страховая премия, которую готов заплатить ЛПР, может быть найдена из равенства ожидаемых полезностей этих двух альтернатив:

Используя понятие, введенное нами в предыдущем параграфе, можно сказать, что сумма (x — Π) является детерминированным эквивалентом рискованной альтернативы А . На графике полезности этот детерминированный эквивалент находится как абсцисса точки пересечения функции полезности и горизонтальной прямой, проходящей на уровне ожидаемой полезности альтернативы А (см. рис.4.7).

Рис.4.7. Максимальная страховая премия Π .

Если запрашиваемая страховой компанией плата будет равна максимальной премии Π , то тогда обе альтернативы (страховать или не страховать) являются эквивалентными. Если же стоимость страхования меньше, то альтернатива В будет более предпочтительной.

Читать еще:  Спекулятивные риски выражаются

Размер максимальной страховой премии может служить мерой неприятия риска, поскольку, чем выше эта сумма, тем сильнее человек боится убытков и стремится переложить их на страховщика. Однако в структуре максимальной страховой премии можно выделить объективную и субъективную составляющие (см. рис.4.8).

Рис.4.8. Структура максимальной страховой премии. Рисковая премия π .

Объективная составляющая, равная ожидаемому убытку MY , представляет собой «чистую» цену риска. Она определяется только вероятностью и тяжестью убытков и не зависит от отношения ЛПР к риску. Ожидаемый убыток MY одинаков как для рискофоба, так и для нейтрала, либо рискофила, поскольку он рассчитывается исходя из характеристик самого риска и не связан с функцией полезности.

Субъективная составляющая, напротив, зависит не только от объективных параметров риска, но и субъективного отношения ЛПР к риску, которое определяет форму функции полезности. Эту составляющую π называют «премия за риск» (risk premium) или «премия за безопасность» (safety premium). От чего же зависит ее величина?

Во-первых, премия за риск зависит от размеров начального богатства. Еще Бернулли предположил, что полезность изменяется пропорционально относительному, а не абсолютному приращению капитала. Если это допущение справедливо, то, чем больше начальное богатство х , тем слабее влияет убыток y на изменение ожидаемой полезности. Значит, рисковая премия π для больших уровней богатства будет ниже, чем для маленьких.

Во-вторых, рисковая премия зависит от разброса убытка относительно ожидаемого значения. Это интуитивно понятно — чем шире рассеивание, тем больший убыток можно получить. Следовательно, рисковая премия будет больше.

Эту идею можно подтвердить и в рамках используемой нами упрощенной модели. Разброс случайной величины характеризуется дисперсией DY или среднеквадратическим отклонением σ Y . Дисперсия DY дискретного случайного убытка Y может быть найдена по общей формуле:

Как уже было показано:

DY = σY 2 = p(1 — p)y 2

Из полученной зависимости видно, что дисперсия простейшего чистого убытка DY тем выше, когда:

  • возможный убыток у больше (тогда крайние исходы случайной величины разнесены на большее расстояние друг от друга), и
  • вероятность убытка ближе к 50% (максимум выражения р(1 — р) достигается как раз при р = 0.5 ).

Проиллюстрируем это, сравнив два случайных убытка Y1 и Y2 , предполагающих возможность наступления одинакового ущерба у с вероятностями р1 = 0.5 и р2 = 0.1 соответственно (см.рис.4.9). Даже визуально можно отметить, что рисковая премия для убытка Y1 больше, чем для Y2 . Если рассмотреть еще один убыток Y3 с вероятностью ущерба р3 = 0.9 , то окажется, что, несмотря на больший ожидаемый убыток MY3 , рисковая премия будет такой же, как и для Y2 . Это объясняется тем, что их вероятности отличаются от 0.5 на одну и ту же величину. Следовательно, выражения р(1 — р) в формуле для дисперсии этих убытков равны.

Рис.4.9. Влияние вероятности наступления убытка на величину рисковой премии.

Третий фактор, влияющий на величину рисковой премии — степень неприятия риска. Это также логически объяснимо: чем меньше человек склонен к риску, тем больше он готов заплатить за страхование. На графике «повышенное» неприятие риска выражается большей кривизной (выпуклостью) функции полезности. Как можно заметить на рис.4.10, чем сильнее искривлен график, тем больше рисковая премия.

Рис.4.10. Влияние кривизны графика функции полезности на величину рисковой премии.

Данный фактор является наиболее субъективным из всех рассмотренных. Именно он объясняет, почему два рискофоба, находясь в одинаковых условиях, могут выбрать разные альтернативы. Просто один из них в большей степени не приемлет риск, чем второй. Поэтому у него выше готовность платить за риск (в частности, больше рисковая премия).

Как определить меру риска

Сложнее всего в мире инвестиций – найти простые и эффективные решения, облегчающие процесс управления капиталом. Одна из самых серьезных задач – не занимаясь теоретизированием, на практике определить меру риска портфеля. Решение этой задачи состоит из пяти шагов, вплотную подводящих к построению потокового процесса управления финансовыми рисками.

Избыточные знания не всегда полезны

Инвестору чрезвычайно важно знать степень риска, которому подвержены открытые позиции. Определить меру риска VaR (Value-at-Risk) для единичного актива можно по формуле:

95% VaR = 1.65 * Волатильность * Размер позиции * vВремя, где

95% – это 95%-ный доверительный уровень;
Волатильность – стандартное отклонение изменения цен (выясняется как натуральный логарифм «сегодня/вчера»);
Размер позиции – лицевая стоимость торгуемого контракта;
Время – горизонт оценки.

Полученный результат трактуют так: ценовые изменения в данный промежуток времени не приведут к потерям выше полученного результата в 95% случаев. Иными словами, есть только 5%-ная вероятность потери, превышающей значение 95% VaR. В банковской практике чаще применяется 99% VaR, отличие которого от представленной формулы в коэффициенте: 2.33 вместо 1.65. Соответственно, 99% VaR говорит нам, что цены с вероятностью 99% не способны измениться настолько, чтобы убытки превысили вычисленное значение.

Пользуясь указанной выше формулой, можно определить риск широкого спектра финансовых активов, попадающих в категорию простых инструментов и линейных производных. К ним относятся: акции, иностранные валюты, облигации обычные и с плавающим купоном (не имеющие высокую дюрацию), процентные и валютные свопы, валютные форвардные контракты, FRA. Тем самым формулировка доступна для применения практически на всех рынках, традиционно вызывающих интерес у отечественных инвесторов, в первую очередь – на рынке акций и FOREX.

Читать еще:  Аудит базирующийся на риске

Обычно проблемы оценки риска рассматриваются на стадии портфеля, состоящего из двух активов. Для большего числа инструментов предлагаются формулы, труднопонимаемые без специальной математической подготовки. Но данная задача решается просто, если подойти к ней сугубо с практической точки зрения, исключив теоретические аспекты. Поэтому здесь дается только то, что необходимо знать, чтобы самостоятельно составить программу в электронных таблицах (Excel), обеспечивающую вычисления VaR портфеля. Для иллюстрации использованы случайно выбранные пять российских акций в произвольно взятый период времени: с 1 по 29 апреля 2003 года.

Шаг 1. Первичная обработка данных

Сначала выясним значение среднего изменения цен и волатильности. Для этого нам потребуется как минимум объем данных, удовлетворяющих выбранному периоду оценки. Предположим, используется 20-периодный цикл, тогда нужно не менее 21 дня, если анализ выполняется по дневным данным. Для каждого дня необходимо выяснить натуральный логарифм отношения цен «сегодня/вчера» (см. значение «Изм.» в табл. 1).

Теперь можно найти среднедневное изменение и величину стандартного отклонения, используя полученный ряд (колонки «Изм.»). Среднедневное изменение – это среднеарифметическое, которое в Excel записывается «=average()», а стандартное отклонение как «=stdev()», которое и является дневной волатильностью. При этом калькуляция охватывает область переменных, находящихся на строчках от 2 до 21 в колонке «Изм.» (результат см. в табл. 2).

Следует иметь в виду: предлагаемый алгоритм оценки волатильности основан на методе постоянных, а не экспоненциально взвешенных ковариаций. Но к ним можно перейти, используя полученные ряды изменения цен, для чего необходимо ввести соответствующие поправки, обеспечивающие больший вклад более поздних наблюдений.

Хороший аналог данного метода оценки волатильности – взвешенная скользящая средняя по сравнению с обычной скользящей средней. Характерно, что множитель, практикуемый в методологии J.P. Morgan RiskMetrics®, равен 0.98, как и в установках по умолчанию в программах, предназначенных для технического анализа рынка.

Шаг 2. Необходимый минимум теории

Прежде чем перейти к вычислению VaR портфеля, обратимся к некоторым сведениям, которые дают понимание расчетных алгоритмов. В целом VaR портфеля из многих активов можно определить по следующей формуле:

VaR портфеля = Среднее изменение– К * Волатильность портфеля, где

Среднее изменение – просто сумма средних изменений всех компонентов портфеля;
К – число стандартных отклонений, требуемых для заданного доверительного уровня, вычисляемое по формуле в Excel «=NORMSINV()», где аргумент – соответствующий доверительный уровень.

Волатильность портфеля калькулируется с использованием формулы, предложенной Г. Марковицем:

Волатильность портфеля = v(Вектор волатильной компоненты * Корреляционная матрица * Транспонированный вектор волатильной компоненты).

Вектор волатильной компоненты можно вычислить, пользуясь формулой:

Компонента волатильности = Стоимость позиции * Волатильность позиции.

Помимо уже выполненных расчетов для вычисления VaR портфеля потребуется построить корреляционную матрицу, основываясь на данных, обработанных в шаге 1. Она представляет собой совокупность коэффициентов, отражающих корреляцию между каждым из инструментов, входящих в портфель. Вычисления в Excel выполняются с помощью соответствующей функции «=correl()», причем построение матрицы лучше выполнить на странице, где будут размещены все прочие расчеты, в том числе и VaR. Это уже будет шаг 3.

Шаг 3. Вычисление VaR портфеля

Протокол расчета, позволяющий видеть все промежуточные этапы, представлен в таблице 3. Здесь же даны формулы, с помощью которых производятся вычисления. Следует иметь в виду: данная таблица есть копия рабочего листа Excel, поэтому при написании программы рекомендуется придерживаться указанного порядка, пользуясь для подсказки формулами, выложенными в крайней колонке «Н» справа. Позже, если возникнет желание, структуру таблицы можно изменить.

Остается сделать ряд важных замечаний. Во-первых, в зависимости от задачи число входящих в портфель активов можно увеличить или уменьшить. Во-вторых, при оценке по ценам внутри дня при вычислениях надо придерживаться единого масштаба, поэтому VaR будет получаться для задаваемого числа часов в параметре «время». Для перевода в дневной масштаб следует учесть число торговых часов в одном дне. Для обращающихся на бирже активов обычно это не вызывает трудностей, но в ряде случаев можно столкнуться с проблемами. Как, скажем, на рынке FOREX, где трудно предложить однозначное решение, поскольку приходится учитывать неравномерный характер торговой активности. В-третьих, следует иметь в виду: портфель может содержать различные активы. Единственное условие – они должны быть выражены в одной валюте. Например, если бы мы пожелали оценить риск портфеля, состоящего из акций в рублях, валютной позиции по евро/доллар и процентного фьючерса в британских фунтах, нам пришлось бы прежде выбрать счетную валюту. Если мы выбрали евро, то потребуется пересчитать все ценовые ряды в евро по соответствующему курсу для каждого дня. После этого нам удастся без труда получить результирующую цифру, которая также будет в евро.

Шаг 4. Оптимизация портфеля

Поняв процедуру оценки риска, можно решать такие серьезные задачи, как поиск более эффективных решений. В Excel существует опция «Solver» в разделе «Tools», позволяющая выполнять поиск решений по заданным условиям. Например, если мы укажем, что нас устраивает иное значение 95% VaR – скажем, -500, а не -844 – и определим при этом возможность изменения числа всех акций, то программа вычислит: RTKM следует иметь 119 акций, EESR – 1193, LKOH – 11, SBER – 2 и SGNG – 227 акций. Причем с длинными позициями по всем бумагам. Легко заметить: подобный подход отличается ограниченностью, поскольку мы никак не определяем имеющийся в нашем распоряжении капитал, а указываем лишь уровень принимаемого риска. Эта проблема легко разрешима: имеющиеся данные позволяют производить любые вычисления, необходимые для определения стоимости портфеля, а также размера требуемого капитала как при торговле с маржой, так и без нее. После этого определить степень риска в относительных величинах не представляет труда, это будет частное от VaR и рабочего капитала или размера счета – в зависимости от того, что необходимо оценить.

Читать еще:  Неприятие риска это

С полученной величиной мы можем обращаться точно так же, как и со значением VaR в денежных единицах. Скажем, если нам для создания портфеля, представленного в таблице 3, потребуется капитал в размере 42 тыс. руб. (исходя из правил брокера), то 1-дневный 95% VaR составит 2.01%, а 10-дневный – 3.41%. Данные цифры говорят: существует 95%-ная вероятность, что потери портфеля за 1 день не превысят 2.01% от работающего капитала, а за 10 дней – 3.41%. Естественно, если нам нужна более полная картина, следует проводить расчет также и для всего капитала, с учетом резервов. Опираясь на эти цифры, можно
выполнять оптимизацию, пользуясь алгоритмом, описанным выше. Например, задавая 1-дневные потери в размере 1% от работающего капитала при доверительном уровне в 95%, мы узнаем, что это достигается за счет увеличения короткой позиции в ЛУКойл (с 20 до 23 акций) и покупки 18, а не одной, акций Сбербанка, при неизменности числа прочих бумаг.

Обратите внимание: не введя в данную процедуру ограничений на капитал, мы обнаружим, что эта возможность для нас нереальна или не отвечает нашим намерениям, поскольку для создания портфеля требуется 163 тыс. руб. Поэтому следующий этап усложнения алгоритмов оценки риска – ввод ограничений.

Шаг 5. Ввод ограничений

Ввод ограничений, позволяющих решать проблему оптимизации, требует немного больше знаний об электронных таблицах. Полностью описать то, как можно решить ту или иную задачу, здесь не представляется возможным. Во-первых, можно найти немало подходящих алгоритмов, позволяющих достичь поставленной цели. Во-вторых, многие из них связаны с уровнем квалификации инвесторов – пользователей среды Windows, а обучение не является нашей задачей. В-третьих, как показывает практика, пользователям лучше всего самостоятельно создавать интерфейс, если работа ведется с Excel.

Поэтому в шаге 5 только указывается путь, ведущий к построению потокового процесса контроля над риском и управления им. Наиболее простой способ решить задачу – ввести условия, опираясь на соотношение между показателем меры риска и размером имеющегося в нашем распоряжении капитала. Если одновременно мы хотим автоматизировать процесс, нам потребуется ввести дополнительные ограничения, описывающие наши реальные возможности. Обычно это реализуется через совместное использование таких функций, как «=IF(), OR(), AND()».

Дополнительные возможности появляются, если изменениям будет подвергаться не число акций, а их доля в портфеле. Описание связей в таком случае будет легче, так как мы заранее указываем размер капитала, под который формируется портфель. Число акций уже будет не задаваться пользователем, как это предложено в таблице 3, а вычисляться на основе весовой доли в портфеле. Причем подходы, основанные на оценке веса, могут иметь и другие решения.

Вводя граничные условия с целью автоматизации процесса оценки риска, мы неминуемо столкнемся с проблемой управления резервами. И здесь следует обратить внимание на важную деталь. Дело в том, что непосредственное применение VaR – это определение, какой капитал необходимо резервировать, чтобы иметь достаточное покрытие рыночного риска. В практике рядового инвестора – это решение вопроса, сколько надо иметь свободных средств на счете, чтобы не потерять свыше заданной величины или не получить margin call (при маржевой торговле).

В банковской практике рекомендуемые резервы – 3-кратный 10-дневный 99% VaR (для портфеля из таблицы 3 такие резервы составят 8299 рублей). Поскольку резервы, оцениваемые через VaR, – величина «плавающая» и зависит от волатильности, этот аспект может оказаться для кого-то привлекательным. В таком случае вполне естественно включить данный параметр в алгоритмы, обеспечивающие обсчет риска.

Наконец, следует включить и ожидаемую прибыль. Это дополнение позволяет получать новые оценочные коэффициенты, играющие важную роль в торговой практике. Скажем, мы можем вывести соотношение «прибыль/возможный убыток». Если при этом учтены издержки на трансакции, а также соответствуют горизонты, использованные для оценки потерь и прибыли, то у нас получится формулировка для оценки рисков RAROC по методике Bankers Trust. Решений автоматизации процедур, связанных с риск-менеджментом, существует много. Окажутся ли они эффективными, в значительной степени зависит от точности поставленной задачи и желания получить действительно простую и понятную процедуру оценки меры риска. Вершиной здесь является построение потокового процесса управления ценовыми и финансовыми рисками, решающего с максимально возможной эффективностью основную задачу инвестора – как понадежней заработать.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector
×
×